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注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.9 $\varphi$ 与 $\mu$ 的旁注，也是习题 4.32 的答案。 欧拉定理 欧拉定理是费马小定理的推广。 引理证毕。
注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.8 进一步的应用 的旁注。 P107 在证明什么 第三章未完成的证明在 P77. P107 证明是得到的值的 $d$ 份复制 这样就好看多了，我们说明了每 $\displaystyle \frac m d$ 个数循环一次，也就是说复制了 $d$ 份。 P108 最后得到了什么结论 改写一下书上话的顺序： $k=jn' \pmod ...
注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.8 进一步的应用 的旁注。 P110 什么是逆元“配对” 看这里的时候我十分困惑。但是没有关系，这里的配对还是很好理解的。首先我们要意识到，根据裴蜀定理与扩展欧几里得算法，对于每一个 $1 \leq n \leq p - 1$，我们都找得到 $n$ 对于 $p$ 的乘法逆元。记作 $n^{-1}$，即 矛盾。
注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.7 独立剩余 的旁注。 P106 独立剩余到底在做什么？ 独立剩余可以将两个数对于一个大模数的 模数加法，模数减法，模数乘法，转换为这两个数对于若干个小模数的 模数加法，模数减法，模数乘法。 P106 独立剩余怎么做？ 首先，我们定义 剩余系 (Residue Number System) 在这个过程中，我们不可避免地会用到除法，...
注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.6 mod: 同余关系 的旁注。 P103 $a \equiv 0 \Rightarrow ak \equiv 0$ 证明：
注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.5 互素 的旁注。 P96 $\gcd (km, kn) = k\gcd(m,n)$ (习题 14) 证明： 而这也与「不存在无穷多个 $R$」矛盾.