注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第五章 二项式系数 5.1 基本恒等式 的旁注，但可以独立阅读。

多项式推理法

对于多项式 $A(x)$ 与 $B(x)$ 而言。我们设其都是关于 $x$ 的不高于 $n$ 次多项式。

现在，我们求 $A(x)$ 与 $B(x)$ 的差，记作 $C(x)$：

$$
A(x) - B(x) = C(x)
$$

其中，$C(x)$ 为一个不高于 $n$ 次的多项式，也就是说 $C(x)$ 有不多于 $n$ 个零点，除非 $C(x)$ 恒为零。

所以，如果我们要证明 $A(x)$ 与 $B(x)$ 相等，我们只需要证明，$A(x) - B(x)$ 存在多于 $n$ （也就是 $A(x), B(x)$ 最高次幂）个零点。换句话说，如果我们能找到多余 $n$ 个 $x_i$ 使得 $A(x_i) = B(x_i)$，我们便能证明 $A(x) = B(x)$

多项式推理法在组合数恒等式证明中的应用

由于二项式系数在上指标与下指标均为整数的情况下会有非常简洁且容易处理的形式，我们通常能够简单地给出证明。但是，当上指标是实数时就会变得十分困难。这个时候，我们便可以使用多项式推理法。在进行向实数的推广之前，我们首先需要确认我们想要证明的式子是有限次数的式子。接下来，由于我们能够找到无穷多组正整数解，所以必然能将式子推广到实数域。证毕。

Reference

• 《组合数学》 P130