引言
近日来，“赢理论”、“可赢问题”、“赢函数”等讨论如雨后春笋般出现，引起了一波研究与讨论的热潮。随着赢理论在社会实践下的不断发展，赢理论的进一步发展同样也可能为我们社会的发展指明方向，带动我们更好地去“赢”、更好的判断我们“有没有赢”。
回顾赢理论的理论基础与发展历程：知木奠定了赢函数的基本理论，开创性地研究了一元函数在时间序列上的可赢性(1)；Deserter 则提出了比较赢理论，推广了“赢问题”的定义，给出了“去赢”、“判赢”的实践方法(2)；在此之后一二三木头人则为我们引入了“赢”与“麻”的关系，给出了赢麻指数的定义(3)，使问题进一步细化。
但是同时我们会发现一个问题：正如具体数学(4)这本书的诞生一样，我们不仅应该研究「仅在一定情况下成立的漂亮的结论」，还需要深入探究，掌握如何在实践中恰如其分地推广赢理论，让我们更容易去赢、更理智地去赢。
在本文中，我们将引入“赢差分”的概念，同时会介绍，在平时我们遇到的离散情况下，推广后的赢理论如何更好地发挥它的强大效果。
回顾赢函数
回顾知木给我们的定义。
赢函数
对于一个函数 $y = f(x), x \in \mathbb R$。如果 $\exists n \in \mathbb N^*, I \subset \mathbb R, s.t.~\displaystyle \frac {\mathrm d^n y} {\mathrm dx^n} \leq 0$，则称这个函数为赢函数，区间 $I$ 为赢域。
严格赢函数
对于一个函数 $y = f(x), x \in \mathbb R$。如果 $\exists n \in \mathbb N^*, I \subset \mathbb R, s.t.~ \forall m \geq n \Rightarrow \displaystyle \frac {\mathrm d^m y} {\mathrm dx^m} \leq 0$，则称这个函数为严格赢函数。
赢导数
对于一个函数 $y = f(x)$，可以找到他的一个对应的函数 $g(x) = \displaystyle \frac {f'(x)} {f(x)}$。$g(x)$ 成为 $f(x)$ 的 Vietnamese Derivative (赢导数)，记作 $\text{Win} [f(x)]$。类似地，他也有高阶定义：
$$
\text{Win} ^ n [f(x)] = \frac {f^{(n)}(x)} {f^ {(n - 1)}(x)}, n > 1
$$
问题发现
在研究现实问题的时候，我们通常得到的，或者说几乎所有情况下，得到的数据都是离散的数据。知木提到的「将离散的数据通过插值或拟合并结合一些预测算法得到它的解析式表达」的方法正如其所言，可能会产生不那么理想的结论，即拟合得到的函数并非赢函数。虽然赢导数在大多数情况下会产生效果，但是我们可能会碰到一类函数：严格非赢函数。
考察如下函数：
$$
y = e^x
$$
无论是函数本身还是其的赢导数都不符合赢的特性，这不禁让我们陷入了困难。尽管这样邪恶的函数可以被批判，但是这种走弯路的做法显示不是赢国所提倡的。更何况，拟合终究只是预测！赢一定要以事实为依据，以法律为准神，直接拿数据说话何乐而不为？
有限赢理论
虽然有限赢理论和“赢”本身的内涵好像显得格格不入，“有限”这两个字眼像是消减了赢的光芒一般让人觉得难受，但是事实证明，有限赢理论可以从“有限”的视角，去探究与推广“无限”的赢，值得我们思考和学习。
有限理论的基础
在具体数学(4)中，我们对比微积分与和式，提出了有限微积分、差分、与差分算子。回顾一下定义：
无限微积分的微分 (derivative) 算子 $\mathrm D$ 由如下定义：
$$
\mathrm Df(x) = \lim _ {h \rightarrow 0} \frac {f(x + h) - f(x)} {h}
$$
有限微积分的差分 (difference) 算子 $\Delta$ 则有相似的定义：
$$
\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)
$$
类似地，我们还有：
$$
\nabla f(x) = f(x) - f(x - 1)
$$
同样的，我们还可以定义出高阶差分：
$$
\begin{aligned}
\Delta ^2 f(x) &= \Delta f(x + 1) - \Delta f(x) \\
&= (f(x + 2) - f(x + 1)) - (f(x + 1) - f(x)) \\
&= f(x + 2) - 2f(x + 1) + f(x)
\end{aligned}
$$
一般化：
$$
\begin{aligned}
\Delta ^n f(x) = \Delta ^ {n - 1} f(x + 1) - \Delta ^ {n - 1} f(x), n \geq 1
\end{aligned}
$$
那么，我们如何把这样一个强有力的武器引入赢理论呢？答案很简单：引入赢差分，我们将其归为有限赢理论
赢差分
对于我们所研究的数据 $f(x)$ ($x$ 为整数时序下标)，可以找到他的一个对应对象 $g(x) = \displaystyle \frac {\Delta f(x)} {f(x)}$。$g(x)$ 成为 $f(x)$ 的 Vietnamese Difference (赢差分)，记作 $\star f(x)$。类似地，他也有高阶定义：
$$
\star ^ n f(x) = \frac {\Delta ^n f(x)} {\Delta ^ {n - 1} f(x)}, n > 1
$$
有限赢判定
定义了有限赢理论的基础，显而易见，接下来我们需要定义有限赢理论中的判赢标准。
连续有限赢
对于研究数据 $P_n$ 而言，如果能找到 $I \subset D_P$，使得 $\forall k \in I \Rightarrow \Delta ^ {(m)} P_k \leq 0$，则我们称 $P_n$ 在 $I$ 上满足连续 $m$ 阶有限赢。
类似地，这个结论还能应用到赢差分上。对于研究数据 $P_n$ 而言，如果能找到 $I \subset D_P$，使得 $\forall k \in I \Rightarrow \Delta \star P_k \leq 0$，则我们称 $P_n$ 在 $I$ 上满足连续差分有限赢。
基于量的有限赢
连续有限赢可能很难达到，但是我们可以设计一些超参数让我们更容易赢。
根据艾弗森约定，例如：
$$
[p是素数] = \begin{cases}
1, ~p是素数 \\ 0, ~p不是素数
\end{cases}
$$
我们可以给出下面的表达。对于下表集合 $K$，以及赢阈值 $\alpha$，若：
$$
\Big (\sum _ {k \in K} [\Delta P_k \leq 0]\Big ) \geq \alpha |K|
$$
则称这种情况为超赢阈值的有限赢。
后置有限赢
对于任意一种判赢方式，如果我们取到的区间 $I$，其下标集合 $K$ 与所有下标的全集 $K_0$ 若满足：
$$
\max K = \max K_0
$$
则我们称这样的赢法为后置有限赢。
强赢结论
讲到这里，想必大家还是无法认识到有限赢理论的威力，以及其的奇妙之处。
回来看我们的连续差分有限赢的定义。我们发现，其可以在若干方向上进行延拓和扩展：
$$
\forall k \in I \Rightarrow \Delta \star ^ {(p)} P_k \leq 0
$$
$$
\forall k \in I \Rightarrow \Delta ^ {(q)} \star P_k \leq 0
$$
$$
\forall k \in I \Rightarrow \Delta ^ {(q)} \star ^ {(p)} P_k \leq 0
$$
类似地，我们还可以将连续有限赢的推广应用到基于量与阈值的有限赢上：
$$
\Big (\sum _ {k \in K} [\Delta \star ^ {(p)} P_k \leq 0]\Big ) \geq \alpha |K|
$$
$$
\Big (\sum _ {k \in K} [\Delta ^ {(q)} \star P_k \leq 0]\Big ) \geq \alpha |K|
$$
$$
\Big (\sum _ {k \in K} [\Delta ^ {(q)} \star ^ {(p)} P_k \leq 0]\Big ) \geq \alpha |K|
$$
由此可见，光是连续有限赢就已经能够满足我们的日常赢需求，故我们称其为强赢结论。
结论与展望
我们用本文探讨了有限赢理论与赢差分的简单应用。这一领域还有很多地方可以研究，笔者也准备在以后在花一些篇幅定义赢式来更好地推广这个理论。同时，也希望大家能够不吝赐教。
本理论相比无限赢理论（连续赢理论可能会产生歧义，故称之为无限赢理论），更具有实践意义，方便研究人员与分析人员编写代码，批量判赢、批量找赢、批量报赢，在赢问题的处理上可谓省时省力。
除此之外，有限赢理论的高度可推广性也让我们的赢工作更加简单，多元的赢方式也让大家的压力变小，能够专注赢理论的发展，以及通过赢来从胜利走向胜利。
1 条评论
太赢了，双赢（逃