注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 1.3 约瑟夫问题的旁注。

P10

求证：当 $m$ 为奇数时，$2^m - 2$ 为 3 的倍数。

证明：不妨设 $m = 2p + 1, p \in \mathbb N$

$$
\begin{aligned}
& 2^m - 2 = 2 ^ {(2p + 1)} - 2 = (3 - 1) ^ {(2p + 1)} - 2 \\
=& C_{2p+1} ^ 0 3 ^ {(2p + 1)} (-1) ^0 + C_{2p} ^ 1 3 ^ {(2p)} (-1) ^1 + \cdots + C_{2p+1} ^ {2p + 1} 3 ^ {0} (-1) ^{(2p + 1)} - 2 \\
=& C_{2p+1} ^ 0 3 ^ {(2p + 1)} (-1) ^0 + C_{2p} ^ 1 3 ^ {(2p)} (-1) ^1 + \cdots + C_{2p+1} ^ {2p} 3 ^ {1} (-1) ^{(2p)} - 3 \\
\end{aligned}
$$

故

$$
\begin{aligned}
2 ^ m - 2 \pmod 3 = 0
\end{aligned}
$$

P13

我们看这一页上的表格，可能会比较费解。

但是我们不妨将 $\beta$ 写成 $\beta_0$，$\gamma$ 写成 $\beta_1$：

$$
4: 4\alpha + 2\beta_{\color{red}{0}} + \beta_{\color{red}{0}} \rightarrow (1{\color{red}{00}})_2 = 4
$$

$$
5: 4\alpha + 2\beta_{\color{red}{0}} + \beta_{\color{red}{1}} \rightarrow (1{\color{red}{01}})_2 = 5
$$

$$
6: 4\alpha + 2\beta_{\color{red}{1}} + \beta_{\color{red}{0}} \rightarrow (1{\color{red}{10}})_2 = 6
$$

$$
7: 4\alpha + 2\beta_{\color{red}{1}} + \beta_{\color{red}{1}} \rightarrow (1{\color{red}{11}})_2 = 7
$$