注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第二章 和式 的旁注。

P26-27

已知

$$
\sum_{k\in K} a_k = \sum_{k} a_k[k \in K]
$$

$$
[k \in K] + [k \in K'] = [k \in K \cap K'] + [k \in K \cup K']
$$

求证：

$$
\sum_{k\in K}a_k + \sum_{k\in K'}a_k = \sum_{k\in K\cap K'}a_k + \sum_{k\in K\cup K'}a_k
$$

证明：

$$
\begin{aligned}
&\sum_{k\in K}a_k + \sum_{k\in K'}a_k \\
=&\sum_k a_k[k\in K] + \sum_k a_k[k\in K'] \\
=&\sum_k a_k([k\in K] + [k\in K']) \\
=&\sum_k a_k([k\in K\cap K'] + [k\in K\cup K']) \\
=&\sum_{k\in K\cap K'} a_k + \sum_{k\in K\cup K'} a_k
\end{aligned}
$$

P28

第一个公式：

$$
S_n + (n+1) 2^{n+1} = {\color{pink}{0}} + \sum _ {0 \leq k \leq n} (k+1) 2^{k+1}
$$

原书中省略了这个 $0$，其为 $(2.24)$ 中的 $a_0$。

P33

$(2.35)$ 证明的补充：

$$
\begin{aligned}
\sum_{j \in J} a_{f(j)} &= \sum_{j \in J} a_{f(j)} [f(j) \in K] \\
&= \sum_{j \in J} \sum_{k \in K} a_{f(j)} [f(j) = k] \\
&= \sum_{j \in J} \sum_{k \in K} a_{k} [f(j) = k] \\
&= \sum_{j \in J, k \in K} a_{k} [f(j) = k] \\
&= \sum_{k \in K} a_{k} \sum_{j \in J} [f(j) = k] \\
&= \sum_{k \in K} a_{k} \#f^{-}(k)
\end{aligned}
$$

P39

方法 5 的补充：

$$
\begin{aligned}
\square_n &= \sum_{1 \leq k \leq n} k^2 \\
&= \sum_{1\leq k \leq n} k \sum_{1 \leq j \leq k} 1 \\
&= \sum_{1\leq k \leq n} \sum_{1\leq j \leq k} k \\
&= \sum_{1\leq j \leq k \leq n} k \\
&= \sum_{1\leq j \leq n} \sum_{j \leq k \leq n} k
\end{aligned}
$$

P42

关于上下界相等时的进一步说明：当 $a=b$ 时：

$$
\sum_a^b g(k)\delta k=\sum_{k=a}^{b-1} g(k) = \sum_{a\leq k<a} g(k) = 0
$$

$$
\sum_b^a g(k)\delta k=\sum_{k=b}^{a-1} g(k) = \sum_{b\leq k<b} g(k) = 0
$$

看起来时符合规律的定义。

2.6 的补充

试证差分加法和常数乘法的性质。

$$
\Delta cf(x) = cf(x+1) - cf(x) = c(f(x+1)-f(x)) = c\Delta f(x)
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta (f(x) \pm g(x)) &= (f(x+1)\pm g(x+1)) - (f(x) \pm g(x)) \\
&= (f(x+1)-f(x)) \pm (g(x+1)-g(x)) \\
&= \Delta f(x) \pm \Delta g(x)
\end{aligned}
$$