注：本节内容为《具体数学》(原书第二版) 第四章 数论 4.5 互素 的旁注。
P96 $\gcd (km, kn) = k\gcd(m,n)$ (习题 14)
证明：
$$
\begin{aligned}
~& \gcd(km, kn) = t \\
\Leftrightarrow ~& t_p = \min(k_p+m_p,k_p+n_p) \\
\Leftrightarrow ~& t_p = k_p + \min(m_p,n_p) \\
\Leftrightarrow ~& t_p - k_p = \min(m_p,n_p) \\
\Leftrightarrow ~& \frac t k = \gcd(m,n), \text{According to (4.12)} \\
\Leftrightarrow ~& k\gcd(m,n) = \gcd(km, kn)
\end{aligned}
$$
P96 式 (4.27) $m/\gcd(m,n)\perp n/\gcd(m,n)$
证明：
由于
$$
\gcd(m,n) \mid m, \gcd(m,n) \mid n
$$
所以
$$
\frac m {\gcd(m,n)}, \frac n {\gcd(m,n)} \in \mathbb Z
$$
故有，
$$
\gcd(m,n) = \gcd\Big(\gcd(m,n)\frac {m} {\gcd(m,n)}, \gcd(m,n)\frac {n} {\gcd(m,n)}\Big)
$$
即
$$
\gcd(m,n) = \gcd(m,n) \gcd\Big(\frac {m} {\gcd(m,n)}, \frac {n} {\gcd(m,n)}\Big)
$$
$$
\gcd\Big(\frac {m} {\gcd(m,n)}, \frac {n} {\gcd(m,n)}\Big) = 1
$$
根据 $(4.26)$
$$
m/\gcd(m,n)\perp n/\gcd(m,n)
$$
P99 为何法里级数是 Stern-Brocot Tree 的剪枝？以及这样的构造方法为何不会遗漏？
注：关于 Stern-Brocot Tree 本身已经在另一篇文章中专门讨论过。
我们首先来看书中说的法里级数的构造方式。
在一般情况下，我们可以从 $\displaystyle\mathcal{F}_1=\frac 0 1,\frac 1 0$ 出发，然后尽可能插入中位分数（只要分母还不太大），这样就能得到 $\mathcal{F}_N$
为什么是剪枝？因为我们是通过少在原来的 Stern-Brocot Tree 中少插入一定的数而构造的。
为社么对于 $\mathcal F_N$，剪枝不会少减也不会多减？因为每次插入的分母是递增的，所以只要某一个数被减掉了，那由其产生的所有数也必然不可能。最重要的是：每颗子树可以由两个数唯一确定。
P99 为什么法力级数在 $N$ 为素数时会出现 $N-1$ 个新分数？
(1) 分母为 $N$ 的分数只会由分母 $\leq N$ 的数产生。
(2) 根据法里级数的定义，分母为 $N$ 的分数只会在 $\mathcal F_{N-1} \rightarrow \mathcal F_N$ 的过程中产生。
(3) $N$ 为素数时，会增加 $\frac 1 N, \frac 2 N, \cdots \frac {N-1} N$
P102 $R^n$ 的含义
$R$ 重复出现 $n$ 次。
P102 无理数搜索
为什么可以这样写？回顾有理数，我们可以给出下面的等价伪代码：
while m != n:
if m / n < 1:
m / n = m / (n - m) = (m / n) / (1 - m / n)
else:
m / n = (m / n) / n = m / n - 1所以可以推广到无理数。
P102 有理数的无限搜寻表示
书中说可以在有理数的表示后加上 $RL^\infty$。个人认为 $LR^\infty$ 同样可行，因为其意义是相似的，都是利用 Stern-Brocot Tree 不会遗漏任何一个有理数，使用极限的性质得到的。
但是书上最后说
「要确信没有无穷多个 $R$」
让我很是困惑。如果有哪位大佬有自己的见解还请不吝赐教。
当然，非要理解这句话也不是不可以。因为这就意味着，如果使用无理数搜寻的程序，过程就变成了：
$$
1 \rightarrow \frac 1 0 = \infty \rightarrow \infty - 1 \rightarrow \infty - 2 \rightarrow \cdots
$$
但是我们要注意到：无理数的搜寻过程本身就是我们通过有理数搜寻而推广的！而有理数搜寻在 $\alpha = 1$ 未定义！所以结果到底如何，我还是保留意见。
此外，这节的最后还提到了欧几里得算法和其的联系。按照书上的寻找方法，欧几里得算法给出的数对于搜索 $1/3$ 会给出：
$$
R^0L^3R^\infty
$$
而这也与「不存在无穷多个 $R$」矛盾.
